​已知P(6,1)、Q(3,1)，求解有关解析几何问题

主要求解一下问题。

(1)求线段PQ中点坐标P1。

(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。

(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1:3。

(4)计算PQ两点的距离。

(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。

(6)求以P,Q两点长轴为焦点，离心率e=1/3时的椭圆方程。

(7)求以P,Q两点长轴为顶点，离心率e=2/5时的椭圆方程。

(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=3/2时的双曲线方程。

(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=3/2时的双曲线方程。

(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。

(1)求线段PQ中点坐标P1。

解：设中点P1的横坐标为x0，纵坐标为y0，

根据题意，有：

x0=(6+3)/2=9/2;

y0=(1+1)/2=1.

即中点P1的坐标为P1(9/2,1).

(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。

解：介绍两种方法来求P2点坐标。

思路一：两点间距离公式法。

设P2(x2,y2),由两点间距离公式有：

|PP2|=√[(6-x2)^2+(1-y2)^2];

|P2Q|=√[(3-x2)^2+(1-y2)^2].

3^2[(6-x2)^2+(1-y2)^2]=2^2[(3-x2)^2+(1-y2)^2]

324-108x2+9x2^2+9-18y2+9y2^2=36-24x2+4x2^2+4-8y2+4y2^2

-5x2^2-5y2^2+84x2+10y2-293=0.

又因为点P2和P,Q在一条直线上，P2P与PQ的斜率相等，则：

(y2-1)/(x2-6)=(1-1)/(3-6),

即：y2=1,代入距离关系式方程有：

-5x2^2+5-84x2-10+293=0

化简得：-5x2^2+84x2-288=0,即：

(5x-24)(-9x+108)=0,由于3

求出x2=24/5，此时P2(24/5,1).

思路二：定比分点法。

因为PP2/p2Q=2/3，所以定比分点λ1= 2/3.

则所求P2的横坐标x2=(6+3λ1)/(1+λ1)

同理，坐标轴y2=(1+λ1)/(1+λ1)。

即可求出x2=24/5，y2=1。

所以所求点的坐标P2(24/5，1).

(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1: 3。

解：用定比分点法求解。

因为PQ:QP3=1: 3，所以定比分点λ2=-4/3;

则所求P3的横坐标x3=(6+ 3λ2)/(1+λ2)

同理，坐标轴y3=(1+λ2)/(1+λ2)。

即可求出x3=-6，y3=1。

所以所求点的坐标P2(-6，1).

(4)计算P、Q两点的距离。

解：因为P,Q零点的纵坐标相等，则其距离=6-3=3.

也可以根据两点间距离公式有：

d=|PQ|=√[(6-3)^2+(1-1)^2]

=√(9+0)=3.

即P、Q两点的距离为3。

(5) 求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。

解：由P(6,1)、Q(3,1)知P,Q两点所在直线的斜率k1为：

k1=(1-1)/(3-6)=0.

则P,Q的直线方程L1的方程为：

y=1。

由题意知，直线L2的斜率k2不存在，所求的直线L2的方程为：

x=9/2。

(6)求以P,Q两点为长轴焦点，离心率e=1/3时的椭圆方程。

解：根据题意设椭圆的半焦距为c，则有

2c=|PQ|=3；

即c=3/2，此时c^2=9/4;

又因为离心率e=1/3=c/a，则:

a=9/2，此时a^2=81/4;

此时b^2=a^2-c^2=81/4-9/4

=18,

故此时椭圆方程为：

(x-9/2)^2/(81/4)+(y-1)^2/18=1.

(7)求以P,Q两点为长轴顶点，离心率e=2/5时的椭圆方程。

解：根据题意设椭圆的半焦距为c，长半轴为a，则有：

2a=|PQ|=3，此时a=3/2，

进一步得a^2=9/4.

由离心率e=2/5=c/a,则：

c=3/5，此时c^2=9/25;

由b^2=a^2-c^2=9/4-9/25

=189/100，

故此时椭圆方程为：

(x-9/2)^2/(9/4)+(y-1)^2/(189/100)=1.

(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=3/2时的双曲线方程。

解：根据题意设双曲线的半焦距为c，则有

2c=|PQ|=3，

即c=3/2，此时c^2=9/4;

由离心率e=3/2=c/a,则：

a=1，此时a^2=1;

由a^2+b^2=c^2得：

b^2=c^2-a^2=9/4-1

=5/4,

故此时双曲线的方程为：

(x-9/2)^2-(y-1)^2/(5/4)=1.

(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=3/2时的双曲线方程。

解：根据题意设双曲线的半焦距为c，长半轴为a，则有：

2a=|PQ|=3，此时a=3/2，

进一步得a^2=9/4.

由离心率e=3/2=c/a,则：

c=3√9/4，此时c^2=81/16;

由a^2+b^2=c^2得：

b^2=c^2-a^2=81/16-9/4,

=45/16，

故此时双曲线方程为：

(x-9/2)^2/(9/4)-(y-1)^2/(45/16)=1.

(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。

解：以P(6, 1)为焦点，Q(3, 1)为顶点则有：

p/2=|PQ|=3,

则2p=12,此时抛物线的方程为：

(y-1)^2=12 (x-3)。

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