x^2+y^2=2,求x+y和xy的最值

解：先求x+y的最值问题。思路一：设x+y=k，代入已知方程，得到关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。

x^2+(k-x)^2=2

x^2+k^2-2kx+x^2=2

2x^2-2kx+k^2-2=0

判别式△=4k^2-8(k^2-2)≥0

-4k^2≥-8*2

k^2≤4，即：-2≤k≤2.

所以x+y的最大值为2，最大值为-2。

思路二：利用三角函数换元，求得x+y的最大值。

由x^2+y^2=2，设x=√2cost，y=√2sint，则：

x+y=√2cost+√2sint

=2(sint+π/4).

当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=2；

当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-2；

思路三：不等式法

∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2

∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)

即：

(x+y)^2≤4，则：

-2≤x+y≤2.

此时x+y的最小值=-2，最大值=2。

下面求xy的最值。思路一：直接根据已知条件，替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

xy

=x√(2-x^2)

=±√[x^2(2-x^2)]

=±√[1-(x^4-2x^2+1)]

=±√[1-(x^2-1)^2].

则xy的最大值为1,最小值为-1.

思路二：换元法，设xy=p，得到y=p/x,代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

x^2+y^2=2

x^2+p^2/x^2=2

x^4-2x^2+p^2=0

判别式△=2^2-4p^2≥0,即：

p^2≤2^2/4

-1≤p≤1

此时得xy=p的最大值=1，最小值=-1.

思路三：三角换元法，将xy表示成三角函数，进而得xy的取值范围。

由x^2+y^2=2，设x=√2cost，y=√2sint，则：

xy=√2cost*√2sint

=2*(1/2)sin2t

=sin2t

当sin2t=1时，x+y有最大值=1；

当sin2t=-1时，x+y有最小值=-1.

思路四：不等式法。

∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|

∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=1

即：-1≤xy≤1.

则xy的最大值为1,最小值为-1.

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网址：x^2+y^2=2,求x+y和xy的最值 http://c.mxgxt.com/news/view/136015

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