曲线x^3+y^3=1的主要性质

主要内容：

本文介绍曲线方程x^3+y^3=1的定义域、单调性、凸凹性等性质，同时用导数的知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简洁表示函数的图像示意图。

曲线的定义域：

观察曲线x^3+y^3=1的特征，可知该函数的自变量x可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

对曲线方程x^3+y^3=1两边同时对x求导，有：

3x^2+3y^2y’=0，即：

y’=-x^2/y^2<0,

则该曲线方程在全体实数即定义域上为单调减函数。

函数的凸凹性：

y’=-x^2/y^2，再次对x求导，有：

y’’=-(2xy^2-2x^2yy’)/y^4,

=-2x(y-xy’)/y^3,

=-2x(y+x^3/y^2)/y^3,

=-2x(y^3+x^3)/y^5,

=-2x/y^5,

又因为x^3+y^3=1，则y=3√[(1-x^3)],

代入二阶导数，则：

y’’=2x/3√[(1-x^3) ]^5

=2x*3√[1/(x^3-1)^5],

令y’’=0,则x=0，

同时有无穷间断点x=1，此时有：

(1)当x∈(-∞，0)，(1，∞)时，y’’>0，函数图像为凹函数。

(2)当x∈[0,1)时，y’’＜0，函数图像为凸函数。

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网址：曲线x^3+y^3=1的主要性质 http://c.mxgxt.com/news/view/210375

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