吃瓜有感，明星社交圈咋这么大？这其实是一道数学题

发布时间：2024-12-16 06:28

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　　你对自己的朋友数量感到满意吗？你有没有试着评估一下，自己的朋友数量在朋友圈中处于什么水平？如果是怀着攀比的心理去对比，数学家会告诉你，结果很可能会让你失望，你拥有的朋友总是不如你朋友平均拥有的朋友多。这个数学上的证明结果有些违反直觉，人们称之为“友谊悖论”。我们该如何解释这个悖论？现实中的社交网络真如悖论所反映的那样吗？

　　撰文 | 白德凡

　　审校 | 王昱

　　原公众号｜环球科学

　　你的朋友圈里或许有那么一两个社交达人，每天晒着和不同人的合照，一条动态就能引来上百个点赞；又或许有一两个社交恐惧症患者，朋友圈长期关闭，一年到头也收不到他的一条消息；当然更多的还是普通人，三五好友，不多但也满足交友需求。面对这些天差地别的交友情况，你有没有试着评估一下，自己的朋友数量在朋友圈中处于什么水平？是你自己拥有的朋友更多呢，还是你的朋友平均拥有的朋友更多？

　　友谊悖论

　　这里有种直观的评估方式。假设我有4个朋友，分别是小红、小绿、小蓝和小黄。小红有3个朋友，小绿有5个朋友，小蓝也有5个朋友，小黄比较受欢迎，有7个朋友。要评估我的朋友数量的多少，很自然会想到以朋友们的平均情况为参考。那么我们可以定义一个数值表示我的“受欢迎度”：用我拥有的朋友数量减去我的朋友拥有的朋友数量的平均数。在这个例子里，我的受欢迎度是

　　4-(3+5+5+7)/4= -1

　　很不幸是个负数，这意味着，我拥有的朋友数量比不上我朋友平均拥有的朋友数量，或者说，我不如我的朋友那么受欢迎。当然，这只是随手举出的个例，现实生活中的人，朋友有多有少，受欢迎度一定也有正有负。如果我们统计足够多的人，计算他们的受欢迎度的平均值，会不会正负相消，得到一个接近于零的，没有倾向性的结果呢？

　　出乎意料的是，有人证明了，受欢迎度的平均值永远是一个负数。数学上有专门的工具来研究类似社交网络这样的复杂关系网。数学家用“图”（graph）来描述交际网络，每个人由一个节点（node）代表，如果两个节点被一条边（edge）链接起来，这两个节点就成为了“邻居”（neighbor），这也代表着相应的两个人互为朋友。一个节点的邻居数量称作这个节点的“度”（degree），在社交网络里，它代表着一个人的朋友数量。我们在前文定义的一个人的“受欢迎度”，即是用对应节点的度减去其各邻居的度的平均值。通过这个转换，数学家们可以用数学方法来研究社交网络的特征。

一个带有6个节点的图（图片来源：Wikipedia）

　　而在1991年发表的一篇名为《为什么你的朋友比你拥有更多朋友》的论文中，社会学家斯科特·费尔德（Scott Feld）从数学上证明了，社交网络的平均受欢迎度只在一种情况下等于零：网络里每个人拥有同样数量的朋友；而在其他所有情况下，平均受欢迎度都严格小于零，就像我和小红、小绿、小蓝、小黄的例子那样。这是否意味着，对于社交网络中的大多数人来说，他们的朋友数量真的不如朋友的朋友数量多？

　　费尔德在论文中顺带分析了一下1961年12所美国高中的社交网络调查数据，结果发现，确实大部分学生的朋友数量不如朋友的多。这个现象细想起来似乎有些违反直觉，因为在大部分人的印象里，在自己的朋友中，朋友数量比自己多的和比自己少的人应该各占一半才对。因此这个现象在被费尔德首次提出后，一直引发着热烈的讨论，人们称之为“友谊悖论”（friendship paradox）。

　　平均值的陷阱

　　友谊悖论的问题很可能出现在受欢迎度的定义上。拿自己的朋友数量和朋友的朋友数量平均值相比较，或许可以衡量单个个体的受欢迎程度；但这个量在社交网络上的平均值，真的可以有效地反映这个社交网络的整体特征吗？

　　考虑这样一个社交网络，包含100个人，除了一对人互相不认识之外，剩下的人两两都是朋友。那么对于这个社交网络中的98个人来说，他们拥有99个朋友，因而受欢迎度是

　　99-(99+99+...+99+98+98)/99≈0.02

　　而对于互相不认识的那两个人来说，他们拥有98个朋友，因而受欢迎度是

　　98-(99+99+...+99+99+98)/99≈-0.9899

　　那么这个社交网络的受欢迎度平均值为

　　(0.02×98-0.9899×2)/100≈-0.0002

　　确实是一个负数，符合费尔德的结论。然而，这意味着这个社交网络中的大多数人不如朋友拥有的朋友数量多吗？事实上，只有互相不认识的那两个人的朋友数量比不上朋友的朋友数量平均值，而剩下的98个人，拥有的朋友数量显然比朋友拥有的平均值要大。这个例子说明，受欢迎度的平均值其实并不总是能有效反映一个社交网络的整体特征。

　　事实上，在处理平均数时，统计学家总是非常小心。比如说，在一群收入相近的普通民众中加入一个亿万富翁，那么这群人中绝大多数的收入比不上平均值，然而这并不代表这群人中有一半以上的人比另一半人收入低。社交网络也是同样的道理，社交达人们的朋友数量远高于一般水平，而不爱交际的人可能没有几个朋友，这些人的加入会极大影响平均受欢迎度的值，使这个量失去了统计意义。社交网络的平均受欢迎度确实会一直小于零，这是个数学定理，但它并非在所有情况下都有对应的现实意义。

　　社恐患者看到这里可以长舒一口气了，你可能比计算结果更受人欢迎。

　　人类高质量友谊

　　那么受欢迎度怎样处理才能反映社交网络的整体特征呢？我们不能只看这个量的平均值，还要看它的分布情况。在今年三月份发表的一篇论文中，三位物理学家用几个数学模型演示了受欢迎度的分布情况如何随着社交网络规模而变化。

　　假设你对朋友数量的需求是固定的，那么随着社交网络的扩大，你和其中任意一个人成为朋友的概率会变小。当这个社交网络足够大时，你实际拥有的朋友数量会近似呈现泊松分布（Poisson distribution）。三位研究人员首先用这个模型计算出了社交网络的受欢迎度的分布情况，结果发现，虽然受欢迎度的平均值总是小于零的，但是它的分布很宽，有相当比例的人的受欢迎度其实大于零。当这个社交网络中的人平均有8个朋友时，大约35%的人的受欢迎度是正数；平均每人有64个朋友时，则是44%；当平均每人有1024个朋友时，则有约49%的人的受欢迎度是正数，几乎是对半开了。

　　研究人员还用两种改进过的模型模拟了几种现实生活中的关系网络，包括科学家合作网络、爵士乐社区网络、海豚社交网络等，计算出受欢迎度的分布情况，与调查结果吻合良好。

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