麦克劳林公式

最后更新: 2024-10-01 09:42 ● 参与者    查看: 884 次    纠错    分享    参与项目    词条搜索       

麦克劳林公式

麦克劳林公式

在泰勒公式里说过，麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况。即 时的泰勒公式被称为麦克劳林公式。
下面给出4个常用的展开式

例题

例1 写出函数 带有拉格朗日型余项的 阶麦克劳林公式.
解 由 ，又 ，
得
其中 .

注 近似公式

特别地取 则有

例2 证明 .
证明 取 ， ，因此

例3 证明 .
其中

证明 取 ，则 ，且 ， 依次循环取四 .
因此
其中
同理，

常用的展开

几个常用初等函数的带拉格朗日型余项或皮亚诺型余项的麦克劳林公式:
(其中 ).

在实际应用中，上述已知初等函数的麦克劳林公式常用于间接地展开一些 更复杂的函数的麦克劳林公式，以及求某些函数的极限等.
例4 写出函数 在 处带有拉格朗日型余项的四阶泰勒公式.
解

继续可得到

于是 , 其中 在 1 与 之间。

例5 求 在 处带有皮亚诺型余项的 阶泰勒展开式.
解

例6 求函数 的带有皮亚诺型余项的 阶麦克劳林公式.
解 因为 ,
所以

例7 利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林展开式计算极限 .
解 因为 ,
所以 ,
从而

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