学习量子力学必须掌握的概念：不确定原理，怎么得到的？

发布时间：2024-12-18 21:43

书接前文，老郭在《只懂经典物理，就敢猜测原子模型，太膨胀了》一文中，提到了玻尔的原子模型打开了量子力学的大门，这里来讲一讲，量子力学的大门究竟是什么？

一、在通往量子力学的路上，玻尔巧遇驱雾人

话说，玻尔成功利用自己的氢原子模型解释了氢原子谱线之后，立刻成为了那个阶段物理学界中的明星。跟我们现在很多人出名了之后一样，四处讲学。

一天，玻尔在某个礼堂里面向下面的听众描述他的原子结构。一般来说，这种讲座很少有人会在下面认真听台上的人究竟在讲什么。但这一天，玻尔遇到了这样一个年轻人，这个愣头青就是后来大名鼎鼎的物理学家——海森堡。

这个时候的海森堡才20出头，本来是跟自己的老师索末菲出来打酱油的，但他在听众提问环节问了玻尔一个相当难以回答的问题：“伟大的玻尔教授，请问电子在两个轨道之间跃迁需要的时间是多少呢？”

玻尔被难住了，尴尬地下不来台，但是玻尔毕竟是玻尔，一个非常有经验的演讲者，他回答说：“这是一个好问题，年轻人。”如今玻尔的这个回答，已经成为很多教授回避尖锐问题的必杀技。

我们现在回头看玻尔的原子模型。我觉得有两个问题，大家一定跟我一样想知道答案，其实也是当时的物理学家们迫切想知道的答案：第一、当电子从一个轨道跳跃到另外一条轨道的时候，究竟发生了什么？第二、如何确定电子在原子内运动的轨道是圆形或者是椭圆形呢？

为了说明这两个问题，我们不得不从经典力学开始说起。

二、经典力学与量子力学之间的联系

很多非数学、物理或者力学专业的小伙伴估计都没有听说过经典力学其实还有另外一种形式——分析力学。这种力学我在其它文章里也用到过，大家可以往回翻翻，那篇《狗撵包子为什么走直线？》，还有近期写《爱因斯坦的时空弯曲是怎么来的？》，都是用的分析力学。

这个分析力学是个什么东西呢？我们在使用牛顿力学研究一个物体的运动轨迹的时候，通常都会建立一个坐标系，比如速度-时间坐标。而这个分析力学的坐标是一种数学上的处理方法，它把描述物体的运动的物理量扩展为两个，即广义动量和广义坐标。

通过这样的方法，可以把二阶微分方程（牛顿第二定律的方程就是一个二阶微分方程）降为两个一阶微分方程，这样就简化了计算过程。我在前面文章里计算穿越地球两端的隧道所用时间的时候，用的也是这个方法。

这种处理方法的发明人是拉格朗日和哈密顿，他们俩都是数学家，所以你如果说，分析力学其实是一种数学或者是数学上更容易处理的经典力学也是可以的。

三、分析力学是如何看待电子的运动的呢？

从分析力学的角度来说，原子内的电子有两个参数：动量和坐标。如果我们能同时知道这两个参数，那么电子的运动就可以用拉格朗日方程来描述了。这在经典力学力当然是没有任何问题的。但是在量子力学中，这却是区别于经典力学的关键。

对于电子这样微小的物体的测量，如果我们要准确测量它的位置，就必须用更短波长的光，我们的测量势必要对运动的电子造成影响，电子就会立刻改变它的动量；而如果我们测量它的动量的时候，同样会给它施加一个影响，就会改变它所在的位置。也就是说——

【划重点】我们不可能同时得到电子的坐标和动量的准确值！换句话说，电子不会有所谓的轨道！

【注意】这个结论，是用分析力学（经典力学）的方法得到的。

四、h普朗克常数——量子力学的大门

就在物理学家们都在一筹莫展的时候，海森堡发现了量子世界的一个公式[x,p]=xp-px=ih/2π，这个公式称为基本对易关系。根据量子力学原理，可以推导出不确定关系ΔxΔp≥h/4π。

从对易关系公式中我们可以看出，氢原子坐标和它的动量的乘积得到的东西跟它俩的顺序有关。从不确定关系式中我们可以看出，坐标的变化量和动量的变化量不能同时为零。如果量子世界满足这样的数学，那么我们从分析力学中得到的那个结论：“我们不可能同时得到电子的坐标和动量的准确值”就是正确的。

等等，这里好像有什么地方不对？在小标题三中，竟然用经典力学就得到了位置和动量的不确定关系。如果这样，那么朱清时教授所说的，你的女儿同时在客厅和卧室是不是就存在着这种可能性呢？这岂不是会导致一个混乱的世界？

拯救现实世界的就是——h普朗克常数，它实在是太小了，其值为6.6260693×10^-34Js，这意味着，如果我们计算一颗子弹的不确定度，那就是可以与氢原子电子大小相比拟的数值了。一颗子弹如果在一个氢原子大小的尺度内不确定，并不会干扰到真实世界的秩序。

之所以要把普朗克常数称为量子力学的大门的原因正是如此——只有普朗克常数发挥作用的现象，我们才称之为量子现象。

结束语

虽然我们从分析力学中得到了动量和坐标的不确定关系，但真正让物理学家们相信的是——电子是没有按照一定的轨道来运动的。这是因为，科学家们从来没有在实验中观测得到电子的轨道！实验中，电子总是在这一刻的某个区域内，下一刻又会跑到另外一个区域，局域地看，电子似乎是在做无规则的运动。

但是如果叠加大量的电子的照片，我们就会发现，电子出现在某些区域的概率特别大，而其它区域出现的概率很小甚至是零。海森堡也因此提出：必须放弃电子轨道的概念。

从此量子力学抛弃了那些臆想出来的东西，只相信实验观测得到的物理量，在量子力学中，力学量开始用算符来代替，电子知识概率性地出现在氢原子周围，并没有确定的轨道。而海森堡用他的计算方法，完美地解释了当时发现的一些物理现象，从而得到了那个时代物理学家们的信服。

关于量子力学的大门是什么的问题，小伙伴们，你们搞清楚了吗？

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