解析函数y=(x+3)^2(3x+19)^3的主要性质

主要内容：

通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数y=(x+3)^2(3x+19)^3示意图的过程与步骤。

" Type="normal"SectionTitle="※.函数定义域" Type="normal"@@

根据函y=(x+3)^2(3x+19)^3特征，可知函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）

※.函数一阶导数：

※.函数乘积求导法。

∵y=(x+3)^2(3x+19)^3，

∴y'

=2(x+3)(3x+19)^3+(x+3)^2*9*(3x+19)^2，

=(x+3)(3x+19)^2(6x+38+9x+27),

=(x+3)(3x+19)^2(15x+65)

※.取对数求导法。

∵y=(x+3)^2(3x+19)^3，取导数有：

∴lny=ln(x+3)^2(3x+19)^3,即：

lny=2ln(x+3)+3ln(3x+19),两边同时对x求导：

y'/y=2/(x+3)+9/(3x+19),

y'=y[2/(x+3)+9/(3x+19)],

y'=(x+3)^2(3x+19)^3[2/(x+3)+9/(3x+19)],

y'=(x+3)(3x+19)^2[2(3x+19)+9(1x+3)],

y'=(x+3)(3x+19)^2(15x+65).

令y'=0，有x+3=0，15x+65=0，即：

x1=-3，x2=-13/3.

(1).当x∈(-∞，-13/3)，(-3,+∞)时，

dy/dx>0,此时函数为增函数。

(2).当x∈[-13/3，-3]时，

dy/dx<0,此时函数为减函数。

※.函数的凸凹性

∵y'=(x+3)(3x+19)^2(15x+65)

∴y''=(3x+19)^2(15x+65)+(x+3)[6(3x+19)(15x+65)+15(3x+19)^2]

=(3x+19)^2(15x+65)+(x+3)(3x+19)[6(15x+65)+15(3x+19)]

=(3x+19)[(3x+19)(15x+65)+6(x+3)(15x+65)+15(x+3)(3x+19)]

=(3x+19){(15x+65)[1(3x+19)+6(x+3)]+15(x+3)(3x+19)}

=(3x+19)(180x^2+1560x+3260)

=20(3x+19)(9x^2+78x+163).

令y''=0，则3x+19=0，或9x^2+78x+163=0，即：

x3=-19/3≈-6.3,x4=(-13-√6)/3≈-5.14,

x5=(-13+√6)/3≈-3.51,

此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：

(1).当x∈(-∞,-6.33),(-5.14,-3.516)时，y''<0,此时函数y为凸函数。

(2).当x∈[-6.33,-5.14],[-3.516,+∞) 时，y''>0,此时函数y为凹函数。

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