已知a+2b=√2,介绍用几何数形法等方法求ab的最大值

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+2b=√2条件下的最大值。

主要公式：

1.(sina)^2+(cosa)^2=1。

2.ab≤(a+b)^2/2。

思路一：直接代入法根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab=a(√2/2-1/2*a)

=-1/2*a^2+√2/2*a

=-1/2(a-√2/2)^2+1/4，

则当a=√2/2时，ab有最大值为1/4。

思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+2b=√2,

a+2p/a=√2,

a^2-√2a+2p=0,对a的二次方程有：

判别式△=2-8p≥0,即：

p≤1/4,

此时得ab=p的最大值=1/4。

思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+2b=√2，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=√2(cost)^2，2b=√2(sint)^2，则：

a=√2(cost)^2,b=√2/2(sint)^2,代入得：

ab=√2(cost)^2*√2/2(sint)^2,

=1/4*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=1/4。

思路四：中值代换法

设a=√2/2+t,2b=√2/2-t，则：

a=(√2/2+t),b=(1/2)(√2/2-t)

此时有：

ab=1/2*(√2/2+t)*(√2/2-t)

=1/2*(1/2-t^2)。

当t=0时，即：ab≤1/4,

则ab的最大值为1/4。

思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵a+2b≥2√2*ab,

∴(a+2b)^2≥8*ab,

2≥8*ab,即：ab≤1/4,

则ab的最大值为1/4。

思路六：数形几何法

如图，设直线a+2b=√2上的任意一点P(a0,b0),op与x轴的夹角为θ，则：

a0+2b0=√2,b0=a0tanθ, p(a0,b0)

a0+2a0tanθ=√2，得

a0=√2/(1+2tanθ),

|a0*b0|=2*|tanθ|/(1+2tanθ)^2,

=2/[(1/|tanθ|)+4+4|tanθ|]

≤2/(4+4)=1/4。

则ab的最大值=1/4.

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